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Leibniz 如何想出微积分?(二) PART B

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问题:(Huygens 问题)
求无穷级数之和
这个问题涉及无穷多项的相加,它源自计算某种赌局 (a game of chance) 的机率。
这个级数每一项的分母恰是毕氏学派「形数」(figurate numbers) 中的三角形数:
 

 
因此,级数(1)就是三角形数的倒数之和。Leibniz 立即就求得这个和:因为

所以首 n 项之和为

从而

我们在机率史的文献上查不到 Huygens 的机率问题,不过我们倒有下面相关的例子:一个袋子装有一个白球及一个黑球,从中任取一个球,若得白球就停止;若得黑球,则再填加一个黑球到袋中,变成两黑一白,再任取一球,若得白球就停止;若又得黑球,则再添加一个黑球到袋中,变成三黑一白,如此继续下去,那么第一回合得白球的机率为,第二回合得白球的机率为,第三回合得白球的机率为  , … 等等,故终究得白球的机率为


Leibniz 解决了 Huygens 问题后,进一步模仿 Pascal 三角,建构一个今日所谓的「调和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角,一口气解决了更多求无穷级数和的问题。
调和三角是这样做成的:第一行排上调和数列,第二行依次排上第一行的前项减去后项之差,以后就按此要领做下去,结果如下:
由此调和三角可以读出
从而 Huygens 问题的答案是
另外我们也可以读出
 
等等。将(2)式乘以 3 就得到角锥形数的倒数之和:
将(3)式乘以4就得到
同理也可得

Descartes 说得好:
由一个例子的考察,我们可以抽取出一条规律。 (From the consideration of an example we can form a rule.)
换言之,一个好的例子往往能够反映出一般规律,即特殊孕育出普遍,或所谓的「一叶知秋」、「见微知着」的意思。我们由上述例子归结出求和的共通模式 (pattern):
定理 1:(差和分根本定理)
对于给定的一个数列 u=(un)n=1,2, …,如果可以找到另一个数列 v=(vn),使得
un=vn+1-vn

那么就有

其中 且 a<b
我们引入适当的概念与记号:
定义:设 c=(cn) 为一个数列,令数列 为 (简记为 )。
我们称 为数列 c 的(第一阶)差分,Δ 为差分算子。 叫做定和分(简称和分)。
因此,定理1 引出了两个基本问题:
(i)研究差分算子 Δ 在运算上的基本性质。
(ii)已知一个数列 u=(un),求另一个数列 v=(vn) 使得 
第一个问题很容易,在此从略。其次,利用(i),第二个问题原则上也不难。在中,我们称 v 为 u 的反差分数列或不定和分。事实上,已知数列 u=(uk)k=1,2, … 定义一个新数列 b=(bn) 如下:
则易验知 b=(bn) 满足
换言之,b=(bn) 就是 u=(un) 的一个不定和分。显然,u 的不定和分不唯一,可以无穷多个(例如(5)式再加上任意常数都还是 u 的不定和分),但是任何两个不定和分只差个常数。

对这一切作深入而有系统的研究就是差和分学的内容(包括差分方程)。差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助,因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。离散的差和分简单明了,再连续化就得到了微积分。一般微积分教科书往往有如下的缺点:忽略差和分学,或类推与连续化处理得不好。

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