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Leibniz 如何想出微积分?(二)

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2017-01-07 算法与数学之美

四、差和分学:从 Pascal 三角到 Leibniz三角

在1672年春天,Leibniz 抵达巴黎,他的第一个成就是发现求和可以用求差来计算,即用减法可以求算加法。后来他曾描述他为何会想到差分以及差分的差分(即二阶差分)等等的概念,并且强调差分扮演着他的所有数学思想的主角。在逻辑中,他彻底地分析真理,发现终究可化约成两件事:定义与恒真语句 (indentical truths)。反过来,由恒真语句就可推导出丰硕的结果。他举数列为例来展示:由 A=A 或 A-A=0出发,可得

A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0


即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0

令 A-B=KB-C=LC-D=MD-E=N,

则得


亦即差之和等于第一项与最后一项之差。

换言之,给一个数列 v=(vk),考虑接续两项之间的差

vk+1-vk=uk


所成的数列 u=(uk),叫做(右)差分数列(还有左差分,同理可讨论),那么显然有


采用登山的解释就很明白了:想象山路铺成台阶,每一阶相对于地面的高度为 v1v2vn+1,而阶差高度为 u1u2un,那么从甲地登到乙地共升高


另一方面这又等于 vn+1-v1,参见下图 1。

 


图1

 

例子:考虑立方数列及其各阶差分数列:


由此我们立即读出

1+7+19+37+61=125-0=125,

7+19+37+61+91=216-1=215,

6+12+18+24+30=91-1=90,

12+18+24+30=91-7=84

Leibniz 发现这个规律,觉得非常新奇、美妙,像小孩子玩积木一样兴奋不已。进一步,他研究 Pascal 三角(1654年,又叫算术三角)。Pascal 三角是作为开方、二项式展开、排列组合与机率之用,参见[2],Leibniz 却从中玩索出差和分的道理。下面我们列出 Pascal 三角常见的三种排法:

(I)

(II)


(III)


问题: 请说明上述 Pascal 三角的构成法。

在(II)的排列法中,斜对角在线的数相加,所得到的数恰好构成费氏数列(Fibonacci sequence):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

这个数列含有许多美妙的性质,我们不预备讲述。

由(III)的排列法中,Leibniz 立即读出许多关于行或列求和的结果,例如

3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34


同理

10+20+35+56=126-5=121

Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 时,对 Huygens 描述他用求差来求和的结果,Huygens 立即建议他做下面富于挑战性的问题。



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