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Leibniz 如何想出微积分?(一)

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一、引言

Leibniz(1646~1716)在1714年发表一篇文章叫做 "Historia et origo calculi differentialis"(即《微分学的历史与根源》),简述他发明微积分的整个故事,开头就这样写着:

对于值得称颂的发明,了解其发明的真正根源与想法是很有用的,尤其是面对那些并非偶然的,而是经过深思熟虑而得的发明。展示发明的根源不光只是作为历史来了解或是鼓舞其他人,更重要的是透过漂亮的发明实例,可以增进吾人发明的艺术,并且发明的方法也可公诸于世。当代最珍贵的发明之一就是一门新的数学分析叫做微分学的诞生。它的内涵已有足够的解说,但是它的根源与动机却少为人所知悉。它的发明几乎已经有四十年的历史了……。

然后 Leibniz 说出他发明微积分的根源就是差和分学。在他的一生当中,总是不厌其烦地解释着这件得意的杰作。差和分与微积分之间的类推关系,恒是 Leibniz 思想的核心。从他的眼光看来,两者在本质上是相同的。一方面,差和分对付的是离散的有限多个有限数;另一方面,微积分对付的是连续地无穷多个无穷小。因此,微积分若少了差和分就好像「Hamlet」剧本少了丹麦王子一样。 


二、生平简述

Leibniz 在 1646 年诞生于德国的 Leipzig(莱比锡)。他父亲是莱比锡大学的法学与道德哲学的教授。当他 6 岁时,父亲就去世了。因此少年的 Leibniz 在学习的路途上几乎没有人指引他。这个小男孩所有的就是父亲留给他的一个书的世界。一位聪慧而早熟的孩子,在约 8 岁时就自学拉丁文,12岁时开始学希腊文。这使得他没有什么困难就可以使用父亲遗留下来的丰富的图书馆。泡在书海中,使他获得了广泛的古典作品之知识。他有能力阅读几乎所有的书,阅读变成终身的兴趣,这使他也读了大量的坏书。后来 Leibniz 写道:

当我还很年轻时,就开始认真思考各种问题。在15岁之前,我常常独自一个人到森林中去散步,比较并且对照 Aristotle 与 Democritus 的学说。

Leibniz 在15岁时进入莱比锡大学就读,选读了宗教、哲学及初等算术,也听了欧氏几何的课,不过对几何他并没有投入。他试图自己研读 Descartes 的解析几何学,但是对他来说似乎难一点。在17岁时,他提出一篇哲学论文,而得到学士学位。那年夏天他到 Jena 大学参加数学班,然后又回莱比锡大学攻读逻辑、哲学与法律,次年就得到硕士学位。20岁写出一篇优秀的组合学论文,但是由于他太年轻以致于莱比锡大学拒绝颁授给他博士学位。于是他转到 Nuremberg 的 Altdorf 大学,并且在1667年(21岁)得到哲学博士学位。

完成学院工作后,他进入政治界,服务于 Mainz 政府。在1672年到1676年这段期间,由于外交任务的关系,他被派往法国的巴黎。在巴黎他遇到了当时欧洲大陆最有学问的 Huygens(1629~1695),激起他对数学的热情,并且创造了微积分,使得在巴黎的四年成为他一生当中数学原创性的颠峰时期 (the prime age of creation),比美于 Newton 的1664~1666年这段时间。

Leibniz 在1680年给朋友的信里,回忆他在1673年于巴黎遇到 Huygens 时所受到的启发,他说:

那时我几乎没有多少时间研读几何。Huygens 给我一本他刚出版的关于单摆的著作。当时我对于 Descartes(笛卡儿)的解析几何与求面积的无穷小论证法一无所知,我甚至不知道重心的定义。事实上,有一次跟 Huygens 讨论时,我误以为通过重心的任何直线必将面积平分为二,因为这对于正方形、圆形、椭圆形以及其它某些图形显然都成立。听到我的话,Huygens 开始笑了起来,他告诉我没有什么东西能够超越真理的。受到这个启发,我非常兴奋,在未彻底读过欧氏几何的情况下,我开始研读高等几何……。 Huygens 认为我是一个好的几何学家,比我自估的还要好。他又交给我 Pascal 的著作,要我研读。从中我学到了无穷小论证法、不可分割法以及重心的求法。

帕斯卡尔的著作给 Leibniz 打开了一个新世界,让他灵光一闪,突然悟到了一些道理,逐渐地经营出他的微积分理论。

Leibniz 在1676年回到德国,于 Hanover 地方当政府的顾问与图书馆长,长达四十年之久。虽然他的职业是律师与外交官,但是他多才多艺,对各方面的学问都有极浓厚的兴趣,并且以哲学家的身份闻名于世。由于他的极力鼓吹,柏林科学院才得以在1700年成立。


三、伟大的梦想

Leibniz 曾回忆说:

我小时候学逻辑,就开始养成对所学的东西作挖深的思考习惯。

他一生持久而不变的目标是追寻一种普遍的语言 (universal language) 与普遍的方法,使得可以统合地处理各式各样的问题。研究 Leibniz 的学者 J.E. Hofmann(1899~1972)说:

Leibniz 热情地,全心全力地收集与吸收能够到手的所有知识,然后给予新的大综合 (grand new synthesis),变成统一的整体。

Leibniz说:

我有满脑子的主意 (ideas),如果能有更厉害的人深入去经营,将他们美妙的灵心与我的劳苦结合起来,会是很有用的。

他在1666年(当时20岁)写出《组合学的艺术》(Art of combinatorics) 之论文。在前言中他预测这门新知识可以延拓应用到逻辑、历史、伦理学、形上学,乃至整个科学。他又说:

假设我们可以用一些基本的字来表达人类的思想,因此可以想象有一系列的字,各代表了简单的概念,那么任何复杂的概念都可以用这些字组合起来。从而奇妙的「发明术」(the Art of invention) 就变成可能了:即所有可能的概念与命题都可以机械地产生。据此我们不但可以探讨已知,而且也可以追寻未知,进一步从事更深刻的研究。

这个美丽的梦想在 Leibniz 心中盘据了一辈子。事实上,这只是古希腊哲学家 Dmocritus 所创立的原子论 (atomism) 的延伸与翻版。Democritus 主张宇宙的森罗万象最终都可以化约成原子及其在空间中的运动、排列与组合,这是多么美妙的想象。除了在物理学与化学上产生深远的影响之外,在方法论 (methodology) 上,也开启了分析与综合的方法。追究事物的组成要素就是分析法,反过来由组成要素组合出事物就是综合法。孙子在他的兵法中,说得更生动:

声不过五,五声之变,不可胜听也; 
色不过五,五色之变,不可胜观也; 
味不过五,五味之变,不可胜尝也; 
战势不过奇正,奇正之变,不可胜穷也; 
奇正相生,如循环之无端,熟能穷之哉!

Leibniz 也梦想着要建立一套普遍的数学,他称之为「Characteristica Universalis」,使得思想也可以化约成计算。他解释说:

如果有了这样的数学,那么我们探讨形上学与道德规范时,就可以如同几何学与分析学之论证推理一般。两个哲学家万一发生意见冲突,他们的争吵就不会严重过两个会计员,这时只需拿起笔,平心静气地坐下来,然后互相说(必要的话可找个证人):让我们计算一下。

Leibniz 对于发明术一直深感兴趣,他说:

没有什么东西比看出发明的根源更重要,我认为这比发明出来的东西更有趣。

他计划写一本书来探讨发明术,可惜从未实现。发明术也许只是人类永远无法实现的一个梦想,好像是往昔的炼金术(发财梦)、炼丹术(长生梦)、永动机梦、炼预测未来术,以及近年来的炼基因术 (algeny) 一样。人类需要有梦想,今日所证实的,也许就是过去的梦想。炼金术与炼丹术促成了化学的诞生,而炼发明术呢?它也产生了非常丰富的成果,例如认知科学 (cognitive science)、发明的心理学、人工智能,大脑的思考机制之研究,Polya(1888~1985)关于数学的解题 (problem solving) 与猜测式推理 (plausible reasoning) 之精辟研究,以及近代科学哲学 (philosophy of science) 一改以往只重科学知识的「逻辑验证」(the logic of justification) 而变成以「发现的理路」(the logic of discovery)为中心,专注于知识的成长与演化机制 (the growth and evolutional problem) 之探讨,科学革命的结构之研究 (Thomas Kuhn)……等等。

Leibniz认为:

世界上的所有事情,都按数学的规律来发生。

这种深刻的「自然的数学观」比美于 Galileo(1564~1642)的名言:「自然之书是用数学语言来书写的」。据此,Leibniz 提倡世界的先定和谐论 (pre-estabilished harmony),并且论证这个世界是所有可能世界中最好的一个 (the best of all possible worlds),这是极值问题的一个应用。Einstein(1879~1955)说:

渴望窥探这个先定和谐的自然结构,是科学家不竭的毅力与恒心的泉源。

Leibniz 更有一颗敏锐的「妙悟灵心」,他早年就对这个世界感到惊奇而问道:

为什么是存有而不是没有呢? 
(Why is there something instead of nothing?)

接着再问:

那里存在的是什么? 
(What is there?)

对这些玄奥飘渺的问题深具兴趣,正是「哲学心灵」的明证。古人提出了许多答案,例如原子论,毕氏学派的万有皆数……等等。Leibniz 提出了单子论 (the theory of monads),单子是构成宇宙的至微单位,反映着大千世界,这恰是微积分中无穷小概念的抽象翻版。

在方法论 (methodology)上,Leibniz 强调充足理由原理 (the principle of sufficient reason):没有东西是没有理由的 (nothing is without reason);以及连续性原理 (the principle of continuity),他说:

没有东西是突然发生的,自然不作飞跃,这是我的一大信条。

连续性原理有广泛的解释,例如从差和分连续化变成微积分就是一个好例子。另外,数学家 Cauchy(1789~1857)根据连续性原理宣称,连续函数列的极限函数仍然是连续的,并且给出了一个错误的证明。后来才发现「均匀收敛」(uniform convergence) 必足以保证极限函数之连续性。

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