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素数之魂——黎曼和他的伟大猜想

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2016-08-27 算法与数学之美


与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远,但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。



2000年5月24日,美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上,与会者们列出了七个数学难题,并作出了一个颇具轰动性的决定:为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年,也是在巴黎,也是在一次数学会议上,一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有,但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外,还有一个相同的地方,那就是在所列举的问题之中,有一个且只有一个难题是共同的。
那个难题就是“黎曼猜想”。
黎曼猜想顾名思义,是由一位名叫黎曼的数学家提出的,这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国,当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年,黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报,他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题,即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性,因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲,它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授,但它们的分布却奥妙得异乎寻常,数学家们付出了极大的心力,却迄今仍未能彻底了解。
黎曼论文的一个重大的成果,就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是,使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数,那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点(下文中有时将简称其为零点)
有意思的是,黎曼那篇文章的成果虽然重大,文字却极为简练,甚至简练得有些过分,因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是,“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的,黎曼的论文却并非如此,他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全,有些甚至直到今天仍是空白。



黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢?也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的,也许是因为不想花太多的时间来撰写文章。但有一点基本可以确定,那就是他的“证明从略”绝非类似于调皮学生蒙混考试的做法,而且很可能也并非是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例,比如法国数学家费尔马在写下费尔马猜想时所表示的“我发现了一个真正出色的证明,可惜页边太窄写不下来”就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多从略了的证明是做过扎实研究的,而且那些研究的水平之高,甚至在时隔了几十年之后才被整理出来,也往往仍具有极大的领先性。
但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外,却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题,那个命题就是黎曼猜想。
那么,黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢?简单地说,是一个关于我们前面提到的,对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼ζ函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点,容易证明的结果只有一个,那就是它们都分布在一个带状区域上,但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多,他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上,这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。
黎曼猜想自1859年“诞生”以来,已过了一百五十多个春秋,在这期间,它就像一座巍峨的山峰,吸引了无数数学家前去攀登,却谁也没能登顶。
当然,如果仅从时间上比较的话,黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过,在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明,所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;反之,如果黎曼猜想被否证,则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联,这是极为罕有的。

不过,数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力虽然迄今没能取得完全成功,在这过程中却也获得了一些阶段性成果,好比是扎下了几座营寨。
这其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世三十七年后的1896年。我们在前面提到过,关于黎曼ζ函数的非平凡零点,容易证明的结果只有一个,那就是它们都分布在一个带状区域上。那个阶段性成果是什么呢?就是将那个带状区域的边界剔除掉了——也就是说,黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部,不包括边界。这个成果是由法国数学家哈达玛与比利时数学家普森彼此独立地给出的。
粗看起来,这似乎是很微不足道的成果,一个带状区域的边界跟它的内部相比,从面积上讲比例实际上是零。但是别小看了这个成果,它对于研究黎曼猜想来说只是一小步,对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃,因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想如今已被称为素数定理,它所描述的是素数的大范围分布规律。素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年,在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。
在上述成果之后又隔了十八年,1914年,丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果,那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说,就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”,这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上,因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。
但就在那同一年,另一个阶段性成果出现了:英国数学家哈代终于将“红旗”插上了临界线——他证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。粗看起来,这似乎是
一个非同小可的结果,因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个,而哈代已经证明了无穷多个零点位于临界线上,从字面上看,两者简直一模一样了。可惜无穷大是数学中一个很微妙的概念,同样是无穷大,彼此却未必是一回事,不仅未必是一回事,简直可以要差多远就差多远,甚至差无穷远!因此,为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远,我们需要更具体的结果。
那样的具体结果出现在七年后的1921年。那一年,哈代与英国数学家李特伍德合作,对自己七年前那个结果中的“无穷多”做出了具体估计。那么,按照这个具体的估计,那位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比,究竟占多大的百分比呢?答案可能沮丧得出乎读者们的意料:百分之零!
数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。那一年,挪威数学家赛尔伯格证明了这个百分比大于零。
赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫,他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛,连数学期刊都无法送达。但赛尔伯格不在乎,他表示“这就像处在一座监狱里,你与世隔绝了,但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上,而不会因其他人的所作所为而分心,从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。他很好地利用了那“许多有利的方面”,孤独地进行着“一个人的战斗”,并最终取得了成果,他的成果是如此显著,以至于玻尔在战后曾戏说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词,那就是:赛尔伯格。
不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零,却并没有在论文中给出具体数值。在赛尔伯格之后,数学家们开始这一比例的具体数值进行研究,其中以美国数学家列文森的成果最为显著,他证明了至少有34%的零点位于临界线上。
列文森取得这一成果是在1974年,那时他已年过花甲,并且行将走到生命的尽头(他第二年就去世了),却依然顽强地从事着数学研究。在列文森之后,这方面的推进变得十分缓慢,几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章,其中包括中国数学家楼世拓与姚琦(他们于1980年证明了至少有35%的零点位于临界线上)。直到1989年,才有人撼动百分比的第一位数字:美国数学家康瑞(Brian Con-rey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——目前最强的结果。
另外值得一提的是,“黎曼猜想”这一金字招牌后来被推而广之,用来表示一些“山寨版”和“豪华版”的猜想。那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢?那是因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性,比如都有一个跟黎曼ζ函数相类似的函数,那个函数具有与黎曼ζ函数相类似的性质,等等。在那些猜想中,“豪华版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强(即把黎曼猜想包含为特例)的猜想,它们跟黎曼猜想一样,迄今尚未得到证明(这是显然的,否则的话黎曼猜想也就被证明了)。但“山寨版”黎曼猜想却已全部得到了证明。
撇开我们所取的不中听的绰号不论,它们的证明乃是数学上的重大成果,既催生过新数学方法的诞生,也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖。而且,“山寨版”黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想,曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。可惜他山之石,并不总是可以攻玉的。从目前的情况来看,“山寨版”黎曼猜想就能在“山寨”里玩,它们的证明虽然重要,对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。

也许在很多人眼里,数学是一门很枯燥的学问,数学家们则是一群性格乏味的怪人。但实际上,富有智慧的人往往是不会真正乏味的,数学家们也是如此,他们在埋头演算的勤恳之外,也给我们留下了许多独特的幽默。
匈牙利数学家波利亚曾经讲过一个跟黎曼猜想有关的小故事,故事的主角就是我们前面提到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。这两位在黎曼猜想研究中做出过成果的数学家当然都对黎曼猜想怀有浓厚兴趣。
有一段时间,哈代常常利用假期访问玻尔,一起讨论黎曼猜想,直到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次,当哈代又必须匆匆赶回英国时,很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海,在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情,弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安,信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人,非但不信,甚至还蓄意跟上帝作对:把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。不过在生死攸关的旅程面前哈代也没闲着,他给玻尔发去了一张简短的明信片,上面只写了一句话:“我已经证明了黎曼猜想”。
哈代果真证明了黎曼猜想吗?当然不是。他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢?当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话,那句话就会变得死无对证,人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的,因此它一定不会让小船沉没的。
哈代用自己的幽默成为了故事主角,有些数学家则是因为其他数学家的幽默而被动地成为了故事主角,我们前面提到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森就是如此。这两人成为主角的原因大家恐怕是猜不到的,那是因为他们的长寿:哈达玛享年98岁,普森活到96岁。这两个令人眼红的岁数不知从何时开始引发了一个传说,那就是谁要是能证明黎曼猜想,他就能不朽——不是抽象意义上的不朽(那是毫无疑问的),而是实际意义上的不朽(即长生不老)!不过这个传说看来是没有关怀到玻尔和兰道,他们的研究成果可比哈达玛和普森的强多了,照说起码也该混个百岁老人当当吧。结果呢?兰道只活了61岁,玻尔稍胜一筹,也只有63岁。
可能是意识到这个传说漏洞太大,数学家们又把幽默指向了另一个方向:出生于波兰的数学家欧德里兹科提出了一个完全相反的说法,那就是:谁要是否证了黎曼猜想,他就会立刻死去!欧德里兹科甚至开玩笑说其实黎曼猜想已经被否证了,只不过那个否证了黎曼猜想的倒霉蛋没来得及发表文章就死去了。
当然,这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。不过,一个极度艰深的东西对投入得过深的人产生健康方面的影响,倒是不无可能的。数学界也确实有人猜测,黎曼猜想的极度艰深有可能对个别数学家的健康产生过影响。比如流行传记《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什曾在二十世纪五十年代后期研究过黎曼猜想,在那之后不久就患上了精神分裂症。纳什患病的原因一般认为是参与军方工作所引致的心理压力,但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果,对他的病症发展有可能起到过推波助澜的作用。
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黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利曾经表示,如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
在探索黎曼猜想的过程中,很多数学家曾经满怀信心,渐渐地却被它的艰深所震动,态度转为了悲观。我们前面提到过的李特伍德就是一个例子,当他还是学生的时候,他的导师就随手把黎曼ζ函数写给了他,让他利用暑假时间研究它的零点位置。初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。但渐渐地,他的态度发生了变化,甚至表示:“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的,日子会过得更舒适些”。
曾经在“山寨版”黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊也有过类似的态度转变。当他在“山寨版”黎曼猜想研究上做出成果时,曾像一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心,表示如果自己证明了黎曼猜想,会故意推迟到猜想提出100周年(即1959年)时才公布——言下之意,自己不迟于1959年就有可能解决黎曼猜想。不过,岁月渐渐磨去了他的乐观,他晚年时曾对一位友人承认,自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。
就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特,他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。在1919年的一次演讲中,希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决,但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他:如果他能在五百年后重返人间,他最想问的问题是什么?他回答说最想问的就是:是否已经有人解决了黎曼猜想?

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